Trigonometrie Beispiele

$a = 2$ , $b = 1$ , $c = 2$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(1)}^{2} + {(2)}^{2} - {(2)}^{2}}{2 (1) (2)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A = \arccos (\frac{1 + 2^{2} - 2^{2}}{2 (1) \cdot 2})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{1 + 4 - 2^{2}}{2 (1) \cdot 2})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{1 + 4 - 1 \cdot 4}{2 (1) \cdot 2})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$A = \arccos (\frac{1 + 4 - 4}{2 (1) \cdot 2})$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $4$ .

$A = \arccos (\frac{5 - 4}{2 (1) \cdot 2})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$A = \arccos (\frac{1}{2 (1) \cdot 2})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$A = \arccos (\frac{1}{2 \cdot 2})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{1}{4})$

Schritt 4.3

Berechne $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$A = 75.52248781$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(2)}^{2} + {(2)}^{2} - {(1)}^{2}}{2 (2) (2)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{4 + 2^{2} - 1^{2}}{2 (2) \cdot 2})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{4 + 4 - 1^{2}}{2 (2) \cdot 2})$

Schritt 8.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$B = \arccos (\frac{4 + 4 - 1 \cdot 1}{2 (2) \cdot 2})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$B = \arccos (\frac{4 + 4 - 1}{2 (2) \cdot 2})$

Schritt 8.1.5

Addiere $4$ und $4$ .

$B = \arccos (\frac{8 - 1}{2 (2) \cdot 2})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$B = \arccos (\frac{7}{2 (2) \cdot 2})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{7}{4 \cdot 2})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{7}{8})$

Schritt 8.3

Berechne $\arccos (\frac{7}{8})$ .

$B = 28.95502437$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$75.52248781 + C + 28.95502437 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $75.52248781$ und $28.95502437$ .

$C + 104.47751218 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $104.47751218$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 104.47751218$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $104.47751218$ von $180$ .

$C = 75.52248781$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 75.52248781$

$B = 28.95502437$

$C = 75.52248781$

$a = 2$

$b = 1$

$c = 2$