Trigonometrie Beispiele

$a = 25$ , $b = 7$ , $c = 24$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(7)}^{2} + {(24)}^{2} - {(25)}^{2}}{2 (7) (24)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 24^{2} - 25^{2}}{2 (7) \cdot 24})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $24$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 576 - 25^{2}}{2 (7) \cdot 24})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $25$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 576 - 1 \cdot 625}{2 (7) \cdot 24})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $625$ .

$A = \arccos (\frac{49 + 576 - 625}{2 (7) \cdot 24})$

Schritt 4.1.5

Addiere $49$ und $576$ .

$A = \arccos (\frac{625 - 625}{2 (7) \cdot 24})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $625$ von $625$ .

$A = \arccos (\frac{0}{2 (7) \cdot 24})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$A = \arccos (\frac{0}{14 \cdot 24})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $14$ mit $24$ .

$A = \arccos (\frac{0}{336})$

Schritt 4.3

Dividiere $0$ durch $336$ .

$A = \arccos (0)$

Schritt 4.4

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $90$ .

$A = 90$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(25)}^{2} + {(24)}^{2} - {(7)}^{2}}{2 (25) (24)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $25$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{625 + 24^{2} - 7^{2}}{2 (25) \cdot 24})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $24$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{625 + 576 - 7^{2}}{2 (25) \cdot 24})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{625 + 576 - 1 \cdot 49}{2 (25) \cdot 24})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$B = \arccos (\frac{625 + 576 - 49}{2 (25) \cdot 24})$

Schritt 8.1.5

Addiere $625$ und $576$ .

$B = \arccos (\frac{1201 - 49}{2 (25) \cdot 24})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $49$ von $1201$ .

$B = \arccos (\frac{1152}{2 (25) \cdot 24})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$B = \arccos (\frac{1152}{50 \cdot 24})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $50$ mit $24$ .

$B = \arccos (\frac{1152}{1200})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1152$ und $1200$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $48$ aus $1152$ heraus.

$B = \arccos (\frac{48 (24)}{1200})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $48$ aus $1200$ heraus.

$B = \arccos (\frac{48 \cdot 24}{48 \cdot 25})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{48 \cdot 24}{48 \cdot 25})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{24}{25})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (\frac{24}{25})$ .

$B = 16.2602047$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$90 + C + 16.2602047 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $90$ und $16.2602047$ .

$C + 106.2602047 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $106.2602047$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 106.2602047$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $106.2602047$ von $180$ .

$C = 73.73979529$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 90$

$B = 16.2602047$

$C = 73.73979529$

$a = 25$

$b = 7$

$c = 24$