Trigonometrie Beispiele

$(\frac{p}{2}, \frac{p}{3})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{p}{2}, \frac{p}{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{p}{2}, 0)$ und $(\frac{p}{2}, \frac{p}{3})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{p}{3}$

Ankathete : $\frac{p}{2}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{p}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{p^{2}}{2^{2}} + {(\frac{p}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} + {(\frac{p}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{p}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} + \frac{p^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} + \frac{p^{2}}{9}}$

Schritt 2.5

Um $\frac{p^{2}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{p^{2}}{9}}$

Schritt 2.6

Um $\frac{p^{2}}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{p^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $\frac{p^{2}}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{p^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{36} + \frac{p^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 2.7.3

Mutltipliziere $\frac{p^{2}}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{36} + \frac{p^{2} \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{36} + \frac{p^{2} \cdot 4}{36}}$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9 + p^{2} \cdot 4}{36}}$

Schritt 2.9

Schreibe $\frac{p^{2} \cdot 9 + p^{2} \cdot 4}{36}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.9.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot p^{2} + p^{2} \cdot 4}{36}}$

Schritt 2.9.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{9 p^{2} + 4 \cdot p^{2}}{36}}$

Schritt 2.9.3

Addiere $9 p^{2}$ und $4 p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{13 p^{2}}{36}}$

Schritt 2.10

Schreibe $\frac{13 p^{2}}{36}$ als ${(\frac{p}{6})}^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $p^{2}$ aus $13 p^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 13}{36}}$

Schritt 2.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $6^{2}$ aus $36$ heraus.

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 13}{6^{2} \cdot 1}}$

Schritt 2.10.3

Ordne den Bruch $\frac{p^{2} \cdot 13}{6^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{p}{6})}^{2} \cdot 13}$

Schritt 2.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{p}{6} \sqrt{13}$

Schritt 2.12

Kombiniere $\frac{p}{6}$ und $\sqrt{13}$ .

$\frac{p \sqrt{13}}{6}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\frac{p}{2}}{\frac{p \sqrt{13}}{6}}$ .

$\frac{\frac{p}{2}}{\frac{p \sqrt{13}}{6}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = \frac{p}{2} \cdot \frac{6}{p \sqrt{13}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $p$ aus $p \sqrt{13}$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{p}{2} \cdot \frac{6}{p (\sqrt{13})}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{p}{2} \cdot \frac{6}{p \sqrt{13}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (3)}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13} \approx 0.83205029$