Trigonometrie Beispiele

$(\frac{77}{9}, \frac{2}{9})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{77}{9}, \frac{2}{9})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{77}{9}, 0)$ und $(\frac{77}{9}, \frac{2}{9})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{2}{9}$

Ankathete : $\frac{77}{9}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{77}{9}$ an.

$\sqrt{\frac{77^{2}}{9^{2}} + {(\frac{2}{9})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $77$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5929}{9^{2}} + {(\frac{2}{9})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5929}{81} + {(\frac{2}{9})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{9}$ an.

$\sqrt{\frac{5929}{81} + \frac{2^{2}}{9^{2}}}$

Schritt 2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5929}{81} + \frac{4}{9^{2}}}$

Schritt 2.6

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5929}{81} + \frac{4}{81}}$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{5929 + 4}{81}}$

Schritt 2.8

Addiere $5929$ und $4$ .

$\sqrt{\frac{5933}{81}}$

Schritt 2.9

Schreibe $\sqrt{\frac{5933}{81}}$ als $\frac{\sqrt{5933}}{\sqrt{81}}$ um.

$\frac{\sqrt{5933}}{\sqrt{81}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5933}}{\sqrt{9^{2}}}$

Schritt 2.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{5933}}{9}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\frac{77}{9}}{\frac{\sqrt{5933}}{9}}$ .

$\frac{\frac{77}{9}}{\frac{\sqrt{5933}}{9}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = \frac{77}{9} \cdot \frac{9}{\sqrt{5933}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{77}{9} \cdot \frac{9}{\sqrt{5933}}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = 77 (\frac{1}{\sqrt{5933}})$

Schritt 4.3

Kombiniere $77$ und $\frac{1}{\sqrt{5933}}$ .

$\cos (θ) = \frac{77}{\sqrt{5933}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{77}{\sqrt{5933}}$ mit $\frac{\sqrt{5933}}{\sqrt{5933}}$ .

$\cos (θ) = \frac{77}{\sqrt{5933}} \cdot \frac{\sqrt{5933}}{\sqrt{5933}}$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{77}{\sqrt{5933}}$ mit $\frac{\sqrt{5933}}{\sqrt{5933}}$ .

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{\sqrt{5933} \sqrt{5933}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{5933}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{\sqrt{5933} \sqrt{5933}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{5933}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{\sqrt{5933} \sqrt{5933}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{{\sqrt{5933}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{{\sqrt{5933}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{5933}}^{2}$ als $5933$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5933}$ als $5933^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{{(5933^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{5933^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{5933^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{5933^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{5933}$

Schritt 4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{5933}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{77 \sqrt{5933}}{5933} \approx 0.99966284$