Trigonometrie Beispiele

$(7, 1)$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(7, 1)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(7, 0)$ und $(7, 1)$ .

Gegenüberliegend : $1$

Ankathete : $7$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\sqrt{49 + {(1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{49 + 1}$

Schritt 2.3

Addiere $49$ und $1$ .

$\sqrt{50}$

Schritt 2.4

Schreibe $50$ als $5^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$\sqrt{25 (2)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$5 \sqrt{2}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{7}{5 \sqrt{2}}$ .

$\frac{7}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{7}{5 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{7}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{7}{5 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.2.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.2.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2}$

Schritt 4.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{7 \sqrt{2}}{10} \approx 0.98994949$