Trigonometrie Beispiele

$(- 4, - \frac{π}{2})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- 4, - \frac{π}{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- 4, 0)$ und $(- 4, - \frac{π}{2})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{π}{2}$

Ankathete : $- 4$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + {(- \frac{π}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{π}{2}$ an.

$\sqrt{16 + {(- 1)}^{2} {(\frac{π}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$\sqrt{16 + {(- 1)}^{2} \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1 \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{π^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{16 + \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + \frac{π^{2}}{4}}$

Schritt 2.6

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{16 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}$

Schritt 2.7

Kombiniere $16$ und $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{16 \cdot 4 + π^{2}}{4}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{64 + π^{2}}{4}}$

Schritt 2.9

Schreibe $\sqrt{\frac{64 + π^{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{- 4}{\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}}$ .

$\frac{- 4}{\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = - 4 \frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 4 (\frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}})$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{64 + π^{2}}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{64 + π^{2}}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{\sqrt{64 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{\sqrt{64 + π^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{64 + π^{2}}}^{2}$ als $64 + π^{2}$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{64 + π^{2}}$ als ${(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{({(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

Schritt 4.3.6.5

Vereinfache.

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere $- 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$ .

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{- 4 (2 \sqrt{64 + π^{2}})}{64 + π^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\cos (θ) = \frac{- 8 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{8 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{8 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}} \approx - 0.93080155$