Trigonometrie Beispiele

$(4, 6)$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(4, 6)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(4, 0)$ und $(4, 6)$ .

Gegenüberliegend : $6$

Ankathete : $4$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + {(6)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 36}$

Schritt 2.3

Addiere $16$ und $36$ .

$\sqrt{52}$

Schritt 2.4

Schreibe $52$ als $2^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$\sqrt{4 (13)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 13}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{13}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{4}{2 \sqrt{13}}$ .

$\frac{4}{2 \sqrt{13}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{13}}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{13}$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{13})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{13}}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{13}}{13} \approx 0.55470019$