Trigonometrie Beispiele

$(- 3, \frac{- 2 π}{3})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- 3, \frac{- 2 π}{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- 3, 0)$ und $(- 3, \frac{- 2 π}{3})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{- 2 π}{3}$

Ankathete : $- 3$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + {(\frac{- 2 π}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{9 + {(- \frac{2 π}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 π}{3}$ an.

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 π}{3}$ an.

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.3.3

Wende die Produktregel auf $2 π$ an.

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + 1 \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{9 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Schritt 2.8

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{9 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Schritt 2.9

Kombiniere $9$ und $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9 + 4 π^{2}}{9}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$

Schritt 2.11

Schreibe $\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$ als $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ um.

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.12.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 2.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{- 3}{\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}}$ .

$\frac{- 3}{\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 3 (\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}})$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{2}$ als $81 + 4 π^{2}$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ als ${(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{({(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Schritt 4.3.6.5

Vereinfache.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere $- 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$ .

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{- 3 (3 \sqrt{81 + 4 π^{2}})}{81 + 4 π^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\cos (θ) = \frac{- 9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}} \approx - 0.81995096$