Trigonometrie Beispiele

$(- 5, 12)$ , $(3, 2)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 5 \cdot 3 + 12 \cdot 2$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 + 12 \cdot 2$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 + 24$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 15$ und $24$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 12^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 12^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 144}$

Schritt 3.2.3

Addiere $25$ und $144$ .

$| a⃗ | = \sqrt{169}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{13^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| a⃗ | = 13$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + 2^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 2^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 4}$

Schritt 4.2.3

Addiere $9$ und $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{13}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{9}{13 \sqrt{13}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{9}{13 \sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9}{13 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Schritt 6.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{9}{13 \sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \sqrt{13} \sqrt{13}})$

Schritt 6.2.2

Bewege $\sqrt{13}$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 (\sqrt{13} \sqrt{13})})$

Schritt 6.2.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})})$

Schritt 6.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 {\sqrt{13}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 {\sqrt{13}}^{2}})$

Schritt 6.2.7

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 6.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{1}})$

Schritt 6.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $13$ mit $13$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{169})$

Schritt 6.4

Berechne $\arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{169})$ .

$θ = 78.92979742$