Trigonometrie Beispiele

$(3, - 4)$ , $(- 5, 7)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot - 5 - 4 \cdot 7$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 - 4 \cdot 7$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 - 28$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $28$ von $- 15$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 43$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 16}$

Schritt 3.2.3

Addiere $9$ und $16$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| a⃗ | = 5$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 7^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 7^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 49}$

Schritt 4.2.3

Addiere $25$ und $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{74}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{- 43}{5 \sqrt{74}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ = \arccos (- \frac{43}{5 \sqrt{74}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{43}{5 \sqrt{74}}$ mit $\frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{43}{5 \sqrt{74}} \cdot \frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}))$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{43}{5 \sqrt{74}}$ mit $\frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \sqrt{74} \sqrt{74}})$

Schritt 6.3.2

Bewege $\sqrt{74}$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 (\sqrt{74} \sqrt{74})})$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{74}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 ({\sqrt{74}}^{1} \sqrt{74})})$

Schritt 6.3.4

Potenziere $\sqrt{74}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 ({\sqrt{74}}^{1} {\sqrt{74}}^{1})})$

Schritt 6.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 {\sqrt{74}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 {\sqrt{74}}^{2}})$

Schritt 6.3.7

Schreibe ${\sqrt{74}}^{2}$ als $74$ um.

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Schritt 6.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{74}$ als $74^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{1}})$

Schritt 6.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74})$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $5$ mit $74$ .

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{370})$

Schritt 6.5

Berechne $\arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{370})$ .

$θ = 178.66778014$