Trigonometrie Beispiele

$u = (4, 0)$ , $v = (8, 1)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 \cdot 8 + 0 \cdot 1$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 32 + 0 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 32 + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $32$ und $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 32$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} + 0^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Schritt 3.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 0}$

Schritt 3.2.3

Addiere $16$ und $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| a⃗ | = 4$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{8^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{64 + 1^{2}}$

Schritt 4.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| b⃗ | = \sqrt{64 + 1}$

Schritt 4.2.3

Addiere $64$ und $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{32}{4 \sqrt{65}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32$ und $4$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot 8}{4 \sqrt{65}})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{65}$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot 8}{4 (\sqrt{65})})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot 8}{4 \sqrt{65}})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{8}{\sqrt{65}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{65}}$ mit $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$θ = \arccos (\frac{8}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}})$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{65}}$ mit $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}})$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{65}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} \sqrt{65}})$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{65}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} {\sqrt{65}}^{1}})$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{2}})$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{65}}^{2}$ als $65$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{65}$ als $65^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{{(65^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{65^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{65^{1}})$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{65})$

Schritt 6.4

Berechne $\arccos (\frac{8 \sqrt{65}}{65})$ .

$θ = 7.12501634$