Trigonometrie Beispiele

$u = (2, - 1)$ , $v = (- 5, - 4)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 5 - - 4$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 - - 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 + 4$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 10$ und $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Schritt 3.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 16}$

Schritt 4.2.3

Addiere $25$ und $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{41}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{\sqrt{5} \sqrt{41}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{\sqrt{5 \cdot 41}})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $41$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{\sqrt{205}})$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ = \arccos (- \frac{6}{\sqrt{205}})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{205}}$ mit $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{6}{\sqrt{205}} \cdot \frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}))$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{205}}$ mit $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{\sqrt{205} \sqrt{205}})$

Schritt 6.4.2

Potenziere $\sqrt{205}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} \sqrt{205}})$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sqrt{205}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} {\sqrt{205}}^{1}})$

Schritt 6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{2}})$

Schritt 6.4.6

Schreibe ${\sqrt{205}}^{2}$ als $205$ um.

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Schritt 6.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{205}$ als $205^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{{(205^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205^{1}})$

Schritt 6.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205})$

Schritt 6.5

Berechne $\arccos (- \frac{6 \sqrt{205}}{205})$ .

$θ = 114.77514056$