Trigonometrie Beispiele

$a = (- 8, 8)$ , $b = (- 6, 2)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 \cdot - 6 + 8 \cdot 2$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 48 + 8 \cdot 2$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 48 + 16$

Schritt 2.2.2

Addiere $48$ und $16$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 64$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 8)}^{2} + 8^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 8^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 64}$

Schritt 3.2.3

Addiere $64$ und $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{128}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $128$ als $8^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$| a⃗ | = \sqrt{64 (2)}$

Schritt 3.2.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{8^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| a⃗ | = 8 \sqrt{2}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 6)}^{2} + 2^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 2^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 4}$

Schritt 4.2.3

Addiere $36$ und $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{40}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$| b⃗ | = \sqrt{4 (10)}$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Schritt 4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{10}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{64}{8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $8$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 (\sqrt{2} (2 \sqrt{10}))})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 (\sqrt{2} (2 \sqrt{10}))})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{8}{\sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{\sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $\sqrt{2} (2 \sqrt{10})$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{2 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{2 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2} (\sqrt{10})})$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{20}})$

Schritt 6.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{4 (5)}})$

Schritt 6.4.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

Schritt 6.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$θ = \arccos (\frac{4}{2 \sqrt{5}})$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}})$

Schritt 6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})})$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}})$

Schritt 6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{5}})$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 6.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Schritt 6.7.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Schritt 6.7.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Schritt 6.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Schritt 6.7.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 6.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}})$

Schritt 6.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 6.8

Berechne $\arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

$θ = 26.56505117$