Trigonometrie Beispiele

$(2, 7)$ , $(3, 1)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 3 + 7 \cdot 1$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 + 7 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 + 7$

Schritt 2.2.2

Addiere $6$ und $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 13$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 7^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 7^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 49}$

Schritt 3.2.3

Addiere $4$ und $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{53}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1^{2}}$

Schritt 4.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Schritt 4.2.3

Addiere $9$ und $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{53} \sqrt{10}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{53 \cdot 10}})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $53$ mit $10$ .

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{530}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{13}{\sqrt{530}}$ mit $\frac{\sqrt{530}}{\sqrt{530}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{530}} \cdot \frac{\sqrt{530}}{\sqrt{530}})$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{13}{\sqrt{530}}$ mit $\frac{\sqrt{530}}{\sqrt{530}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{\sqrt{530} \sqrt{530}})$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{530}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{1} \sqrt{530}})$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{530}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{1} {\sqrt{530}}^{1}})$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{\sqrt{530}}^{2}})$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{530}}^{2}$ als $530$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{530}$ als $530^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{{(530^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530^{1}})$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530})$

Schritt 6.4

Berechne $\arccos (\frac{13 \sqrt{530}}{530})$ .

$θ = 55.61965527$