Trigonometrie Beispiele

$(2, 6)$ , $(2, 9)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 2 + 6 \cdot 9$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 + 6 \cdot 9$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 + 54$

Schritt 2.2.2

Addiere $4$ und $54$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 58$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 6^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 6^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 36}$

Schritt 3.2.3

Addiere $4$ und $36$ .

$| a⃗ | = \sqrt{40}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$| a⃗ | = \sqrt{4 (10)}$

Schritt 3.2.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| a⃗ | = 2 \sqrt{10}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 9^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 81}$

Schritt 4.2.3

Addiere $4$ und $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{58}{2 \sqrt{10} \sqrt{85}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $58$ und $2$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $58$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 29}{2 \sqrt{10} \sqrt{85}})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{10} \sqrt{85}$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 29}{2 (\sqrt{10} \sqrt{85})})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 29}{2 (\sqrt{10} \sqrt{85})})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{29}{\sqrt{10} \sqrt{85}})$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{29}{\sqrt{10 \cdot 85}})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $85$ .

$θ = \arccos (\frac{29}{\sqrt{850}})$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $850$ als $5^{2} \cdot 34$ um.

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $25$ aus $850$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{29}{\sqrt{25 (34)}})$

Schritt 6.3.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$θ = \arccos (\frac{29}{\sqrt{5^{2} \cdot 34}})$

Schritt 6.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$θ = \arccos (\frac{29}{5 \sqrt{34}})$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{29}{5 \sqrt{34}}$ mit $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{29}{5 \sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Schritt 6.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $\frac{29}{5 \sqrt{34}}$ mit $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 \sqrt{34} \sqrt{34}})$

Schritt 6.5.2

Bewege $\sqrt{34}$ .

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 (\sqrt{34} \sqrt{34})})$

Schritt 6.5.3

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})})$

Schritt 6.5.4

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})})$

Schritt 6.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 {\sqrt{34}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 {\sqrt{34}}^{2}})$

Schritt 6.5.7

Schreibe ${\sqrt{34}}^{2}$ als $34$ um.

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Schritt 6.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{34}$ als $34^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 \cdot 34^{1}})$

Schritt 6.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{5 \cdot 34})$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $5$ mit $34$ .

$θ = \arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{170})$

Schritt 6.7

Berechne $\arccos (\frac{29 \sqrt{34}}{170})$ .

$θ = 5.90614111$