Trigonometrie Beispiele

$(- 4, 4)$ , $(- 1, 10)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot 10$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 + 4 \cdot 10$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 + 40$

Schritt 2.2.2

Addiere $4$ und $40$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 4^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 4^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 16}$

Schritt 3.2.3

Addiere $16$ und $16$ .

$| a⃗ | = \sqrt{32}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$| a⃗ | = \sqrt{16 (2)}$

Schritt 3.2.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| a⃗ | = 4 \sqrt{2}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 10^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 10^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 100}$

Schritt 4.2.3

Addiere $1$ und $100$ .

$| b⃗ | = \sqrt{101}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{44}{4 \sqrt{2} \sqrt{101}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $44$ und $4$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot 11}{4 \sqrt{2} \sqrt{101}})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2} \sqrt{101}$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot 11}{4 (\sqrt{2} \sqrt{101})})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot 11}{4 (\sqrt{2} \sqrt{101})})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{11}{\sqrt{2} \sqrt{101}})$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{11}{\sqrt{2 \cdot 101}})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $101$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{\sqrt{202}})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{11}{\sqrt{202}}$ mit $\frac{\sqrt{202}}{\sqrt{202}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{\sqrt{202}} \cdot \frac{\sqrt{202}}{\sqrt{202}})$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{11}{\sqrt{202}}$ mit $\frac{\sqrt{202}}{\sqrt{202}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{\sqrt{202} \sqrt{202}})$

Schritt 6.4.2

Potenziere $\sqrt{202}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{{\sqrt{202}}^{1} \sqrt{202}})$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sqrt{202}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{{\sqrt{202}}^{1} {\sqrt{202}}^{1}})$

Schritt 6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{{\sqrt{202}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{{\sqrt{202}}^{2}})$

Schritt 6.4.6

Schreibe ${\sqrt{202}}^{2}$ als $202$ um.

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Schritt 6.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{202}$ als $202^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{{(202^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202^{1}})$

Schritt 6.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202})$

Schritt 6.5

Berechne $\arccos (\frac{11 \sqrt{202}}{202})$ .

$θ = 39.28940686$