Trigonometrie Beispiele

$(- 3, 0)$ , $(- 3, - 4)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot - 3 + 0 \cdot - 4$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 + 0 \cdot - 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $9$ und $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 0^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Schritt 3.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 0}$

Schritt 3.2.3

Addiere $9$ und $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| a⃗ | = 3$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 16}$

Schritt 4.2.3

Addiere $9$ und $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Schritt 4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| b⃗ | = 5$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{9}{3 \cdot 5})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 5})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 5$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 3}{3 (5)})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 5})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{3}{5})$

Schritt 6.2

Berechne $\arccos (\frac{3}{5})$ .

$θ = 53.13010235$