Trigonometrie Beispiele

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$ ,

(1, 7)

$(1, 7)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

7

$7$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere

- 2

$- 2$ und

0

$0$ .

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von

a⃗

$a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}$

Schritt 3.2.2

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}$

Schritt 3.2.3

Addiere

4

$4$ und

0

$0$ .

| a⃗ | = \sqrt{4}

$| a⃗ | = \sqrt{4}$

Schritt 3.2.4

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von

b⃗

$b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere

7

$7$ mit

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}$

Schritt 4.2.3

Addiere

1

$1$ und

49

$49$ .

| b⃗ | = \sqrt{50}

$| b⃗ | = \sqrt{50}$

Schritt 4.2.4

Schreibe

50

$50$ als

5^{2} \cdot 2

$5^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere

25

$25$ aus

50

$50$ heraus.

| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}

$| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe

25

$25$ als

5^{2}

$5^{2}$ um.

| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 2

$- 2$ und

2

$2$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 2

$- 2$ heraus.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Schritt 6.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{5 \sqrt{2}})$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ = \arccos (- \frac{1}{5 \sqrt{2}})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ mit

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Schritt 6.4.2

Bewege

$\sqrt{2}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Schritt 6.4.3

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Schritt 6.4.4

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Schritt 6.4.5

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.4.6

Addiere

$1$ und

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}})$

Schritt 6.4.7

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 6.4.7.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.4.7.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 6.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}})$

Schritt 6.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2})$

Schritt 6.5

Mutltipliziere

$5$ mit

$2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$

Schritt 6.6

Berechne

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$ .

$θ = 98.13010235$