Trigonometrie Beispiele

$(2, \sqrt{3})$ , $(- 4, 2 \sqrt{3})$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $\sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Schritt 2.2.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Schritt 2.2.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Schritt 2.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{1}$

Schritt 2.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 6$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 8$ und $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{1}}$

Schritt 3.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3}$

Schritt 3.2.3

Addiere $4$ und $3$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{1}}$

Schritt 4.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3}$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 12}$

Schritt 4.2.6

Addiere $16$ und $12$ .

$| b⃗ | = \sqrt{28}$

Schritt 4.2.7

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$| b⃗ | = \sqrt{4 (7)}$

Schritt 4.2.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Schritt 4.2.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{7}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $\sqrt{7} (2 \sqrt{7})$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{7} (\sqrt{7})})$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})$

Schritt 6.2.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})$

Schritt 6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Schritt 6.3

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{1}})$

Schritt 6.3.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7})$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ = \arccos (- \frac{1}{7})$

Schritt 6.5

Berechne $\arccos (- \frac{1}{7})$ .

$θ = 98.2132107$