Trigonometrie Beispiele

$(14, - 3)$ , $(1, 4)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 14 \cdot 1 - 3 \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 14 - 3 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 14 - 12$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $12$ von $14$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{14^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{196 + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{196 + 9}$

Schritt 3.2.3

Addiere $196$ und $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{205}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 4^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 4^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 16}$

Schritt 4.2.3

Addiere $1$ und $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{17}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{205} \sqrt{17}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{205 \cdot 17}})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $205$ mit $17$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{3485}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3485}}$ mit $\frac{\sqrt{3485}}{\sqrt{3485}}$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{3485}} \cdot \frac{\sqrt{3485}}{\sqrt{3485}})$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3485}}$ mit $\frac{\sqrt{3485}}{\sqrt{3485}}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{\sqrt{3485} \sqrt{3485}})$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{3485}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{{\sqrt{3485}}^{1} \sqrt{3485}})$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{3485}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{{\sqrt{3485}}^{1} {\sqrt{3485}}^{1}})$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{{\sqrt{3485}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{{\sqrt{3485}}^{2}})$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{3485}}^{2}$ als $3485$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3485}$ als $3485^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{{(3485^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{3485^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{3485^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{3485^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{3485^{1}})$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{3485})$

Schritt 6.4

Berechne $\arccos (\frac{2 \sqrt{3485}}{3485})$ .

$θ = 88.0585136$