Trigonometrie Beispiele

$(- 1, 4)$ , $(3, - 2)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1 \cdot 3 + 4 \cdot - 2$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 + 4 \cdot - 2$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 - 8$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $8$ von $- 3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 11$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 4^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 16}$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $16$ .

$| a⃗ | = \sqrt{17}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 4}$

Schritt 4.2.3

Addiere $9$ und $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{13}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{17} \sqrt{13}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{17 \cdot 13}})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $17$ mit $13$ .

$θ = \arccos (\frac{- 11}{\sqrt{221}})$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ = \arccos (- \frac{11}{\sqrt{221}})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{11}{\sqrt{221}}$ mit $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{11}{\sqrt{221}} \cdot \frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}))$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{11}{\sqrt{221}}$ mit $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{\sqrt{221} \sqrt{221}})$

Schritt 6.4.2

Potenziere $\sqrt{221}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} \sqrt{221}})$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sqrt{221}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} {\sqrt{221}}^{1}})$

Schritt 6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{2}})$

Schritt 6.4.6

Schreibe ${\sqrt{221}}^{2}$ als $221$ um.

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Schritt 6.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{221}$ als $221^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{{(221^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{221^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{221^{1}})$

Schritt 6.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{221})$

Schritt 6.5

Berechne $\arccos (- \frac{11 \sqrt{221}}{221})$ .

$θ = 137.72631099$