Trigonometrie Beispiele

$(1, - 2)$ , $(- 6, - 3)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 6 - 2 \cdot - 3$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 - 2 \cdot - 3$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 + 6$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 6$ und $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + {(- 3)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 9}$

Schritt 4.2.3

Addiere $36$ und $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{45}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$| b⃗ | = \sqrt{9 (5)}$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Schritt 4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{5}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{0}{\sqrt{5} (3 \sqrt{5})})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 (0)}{\sqrt{5} (3 \sqrt{5})})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $\sqrt{5} (3 \sqrt{5})$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 (0)}{3 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 0}{3 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{0}{\sqrt{5} (\sqrt{5})})$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{0}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Schritt 6.2.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{0}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Schritt 6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{0}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{0}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Schritt 6.3

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{0}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{0}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{0}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{0}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{0}{5^{1}})$

Schritt 6.3.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{0}{5})$

Schritt 6.4

Dividiere $0$ durch $5$ .

$θ = \arccos (0)$

Schritt 6.5

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $90$ .

$θ = 90$