Trigonometrie Beispiele

(1, \frac{5}{3})

$(1, \frac{5}{3})$ ,

(1, - 8)

$(1, - 8)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere

1

$1$ mit

1

$1$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere

\frac{5}{3} \cdot - 8

$\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kombiniere

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ und

- 8

$- 8$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere

5

$5$ mit

- 8

$- 8$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

Schritt 2.2.2

Schreibe

1

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere

40

$40$ von

3

$3$ .

a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

Schritt 2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von

a⃗

$a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$ an.

| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 3.2.3

Potenziere

5

$5$ mit

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

Schritt 3.2.4

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

Schritt 3.2.5

Schreibe

1

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Schritt 3.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

Schritt 3.2.7

Addiere

9

$9$ und

25

$25$ .

| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

Schritt 3.2.8

Schreibe

\sqrt{\frac{34}{9}}

$\sqrt{\frac{34}{9}}$ als

\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ um.

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

Schritt 3.2.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.9.1

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 3.2.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von

b⃗

$b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere

- 8

$- 8$ mit

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

Schritt 4.2.3

Addiere

1

$1$ und

64

$64$ .

| b⃗ | = \sqrt{65}

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

| b⃗ | = \sqrt{65}

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

| b⃗ | = \sqrt{65}

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ - \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Schritt 6.2

Kombiniere

\frac{\sqrt{34}}{3}

$\frac{\sqrt{34}}{3}$ und

\sqrt{65}

$\sqrt{65}$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ - \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ - \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere

34

$34$ mit

65

$65$ .

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ - \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ - \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

Schritt 6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

θ = arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

Schritt 6.5

Mutltipliziere

\frac{3}{\sqrt{2210}}

$\frac{3}{\sqrt{2210}}$ mit

1

$1$ .

θ = arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 6.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in

- \frac{37}{3}

$- \frac{37}{3}$ in den Zähler.

θ = arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.7

Kombiniere

$- 37$ und

$\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.9

Mutltipliziere

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ mit

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

Schritt 6.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.10.1

Mutltipliziere

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ mit

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

Schritt 6.10.2

Potenziere

$\sqrt{2210}$ mit

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

Schritt 6.10.3

Potenziere

$\sqrt{2210}$ mit

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

Schritt 6.10.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.10.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

Schritt 6.10.6

Schreibe

${\sqrt{2210}}^{2}$ als

$2210$ um.

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Schritt 6.10.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2210}$ als

$2210^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.10.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 6.10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

Schritt 6.10.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

Schritt 6.11

Berechne

$\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$