Trigonometrie Beispiele

$(1, \frac{5}{3})$ , $(1, - 8)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $40$ von $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

Schritt 2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 3.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

Schritt 3.2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

Schritt 3.2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Schritt 3.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

Schritt 3.2.7

Addiere $9$ und $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

Schritt 3.2.8

Schreibe $\sqrt{\frac{34}{9}}$ als $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ um.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

Schritt 3.2.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.9.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 3.2.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

Schritt 4.2.3

Addiere $1$ und $64$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{34}}{3}$ und $\sqrt{65}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $34$ mit $65$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

Schritt 6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2210}}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{37}{3}$ in den Zähler.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.7

Kombiniere $- 37$ und $\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ mit $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

Schritt 6.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.10.1

Mutltipliziere $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ mit $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

Schritt 6.10.2

Potenziere $\sqrt{2210}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

Schritt 6.10.3

Potenziere $\sqrt{2210}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

Schritt 6.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

Schritt 6.10.6

Schreibe ${\sqrt{2210}}^{2}$ als $2210$ um.

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Schritt 6.10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2210}$ als $2210^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.10.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

Schritt 6.10.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

Schritt 6.11

Berechne $\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$