Trigonometrie Beispiele

$(0, 4)$ , $(0, - 5)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 0 + 4 \cdot - 5$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 4 \cdot - 5$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 20$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $20$ von $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 4^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 16}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $16$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| a⃗ | = 4$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 5)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 25}$

Schritt 4.2.3

Addiere $0$ und $25$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Schritt 4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| b⃗ | = 5$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{- 20}{4 \cdot 5})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $4$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 5})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 5$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 (5)})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 5})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5})$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)})$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1})$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{1})$

Schritt 6.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$θ = \arccos (- 1)$

Schritt 6.3

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $180$ .

$θ = 180$