Trigonometrie Beispiele

$h (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 1

Wende die Form $a \sin (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 40$

$b = \frac{5 π}{4}$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 55$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $40$

Schritt 3

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 3.1

Ermittele die Periode von $40 \sin (\frac{5 π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 3.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{5 π}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{5 π}{4} |}$

Schritt 3.1.3

$\frac{5 π}{4}$ ist ungefähr $3.92699081$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{5 π}{4}}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{4}{5 π}$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.1.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{5 π}$

Schritt 3.1.5.2

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Schritt 3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Schritt 3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{4}{5})$

Schritt 3.1.6

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{5}$

Schritt 3.2

Ermittele die Periode von $55$ .

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Schritt 3.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{5 π}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{5 π}{4} |}$

Schritt 3.2.3

$\frac{5 π}{4}$ ist ungefähr $3.92699081$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{5 π}{4}}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{4}{5 π}$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{5 π}$

Schritt 3.2.5.2

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Schritt 3.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Schritt 3.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{4}{5})$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5}$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{5}$

Schritt 3.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$\frac{8}{5}$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{\frac{π}{2}}{\frac{5 π}{4}}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{5 π}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{π \cdot 5}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{π \cdot 5}$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{5}$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{5}$

Schritt 4.5.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{2}{5}$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $40$

Periode: $\frac{8}{5}$

Phasenverschiebung: $\frac{2}{5}$ ( $\frac{2}{5}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $55$

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{8}{5}$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{8}{5}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{5 π (\frac{8}{5})}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.1.1.1.1

Kombiniere $\frac{8}{5}$ und $5$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 \cdot 5}{5} \cdot π}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.1.2

Kombiniere $\frac{8 \cdot 5}{5}$ und $π$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 \cdot (5 π)}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{40 π}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1.1.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{40 π}{5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1.1.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $40 π$ heraus.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5 (1)}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5 \cdot 1}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 π}{1}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.3.2

Dividiere $8 π$ durch $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{8 π}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8 π$ heraus.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π}{1} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.1.4.2.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (2 π - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 π - π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{3 π}{2}) + 55$

Schritt 6.1.2.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{8}{5}) = 40 (- \sin (\frac{π}{2})) + 55$

Schritt 6.1.2.1.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 (- 1 \cdot 1) + 55$

Schritt 6.1.2.1.8

Multipliziere $40 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 6.1.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \cdot - 1 + 55$

Schritt 6.1.2.1.8.2

Mutltipliziere $40$ mit $- 1$ .

$f (\frac{8}{5}) = - 40 + 55$

Schritt 6.1.2.2

Addiere $- 40$ und $55$ .

$f (\frac{8}{5}) = 15$

Schritt 6.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $15$ .

$15$

Schritt 6.2

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{8}{5} & 15 \\ \frac{16}{5} & 15 \\ \frac{24}{5} & 15 \\ \frac{32}{5} & 15 \\ 8 & 15 \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $40$

Periode: $\frac{8}{5}$

Phasenverschiebung: $\frac{2}{5}$ ( $\frac{2}{5}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $55$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{8}{5} & 15 \\ \frac{16}{5} & 15 \\ \frac{24}{5} & 15 \\ \frac{32}{5} & 15 \\ 8 & 15 \end{array}$

Schritt 8