Trigonometrie Beispiele

$h (x) = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Für jedes $y = \cot (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \cot (x)$ , $(0, π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Kotangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \cot (b x + c) + d$ gleich $0$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ auftritt.

$\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Kotangensfunktion $\frac{x}{3} - \frac{π}{2}$ gleich $π$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = π$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{3} = π + \frac{π}{2}$

Schritt 1.4.1.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{3} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 1.4.1.3

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 1.4.1.5.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1

Multipliziere $3 \frac{3 π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{9 π}{2}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ tritt auf bei $(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$ , wobei $\frac{3 π}{2}$ und $\frac{9 π}{2}$ vertikale Asymptoten sind.

$(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 3$

Schritt 1.6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ treten auf bei $\frac{3 π}{2}$ , $\frac{9 π}{2}$ und aller $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$

Schritt 1.8

Der Kotangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Schreibe den Ausdruck zu $- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8$ um.

$- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8$

Schritt 3

Wende die Form $a \cot (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 1$

$b = \frac{1}{3}$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 8$

Schritt 4

Da der Graph der Funktion $c o t$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 5

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{π}{| b |}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittele die Periode von $- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 5.1.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 3$

Schritt 5.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 π$

Schritt 5.2

Ermittele die Periode von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 5.2.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 3$

Schritt 5.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 π$

Schritt 5.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$3 π$

Schritt 6

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 6.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{\frac{π}{2}}{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2} \cdot 3$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $3$ .

Phasenverschiebung: $\frac{π \cdot 3}{2}$

Schritt 6.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

Phasenverschiebung: $\frac{3 π}{2}$

Schritt 7

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $3 π$

Phasenverschiebung: $\frac{3 π}{2}$ ( $\frac{3 π}{2}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $8$

Schritt 8

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $3 π$

Phasenverschiebung: $\frac{3 π}{2}$ ( $\frac{3 π}{2}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $8$

Schritt 9