Trigonometrie Beispiele

$h (x) = 0.5 \sin (0.25 x + 0.75 π) - 5$

Schritt 1

Wende die Form $a \sin (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 0.5$

$b = 0.25$

$c = - 2.35619449$

$d = - 5$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $0.5$

Schritt 3

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 3.1

Ermittele die Periode von $0.5 \sin (0.25 x + 2.35619449)$ .

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Schritt 3.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.1.2

Ersetze $b$ durch $0.25$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 0.25 |}$

Schritt 3.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0.25$ ist $0.25$ .

$\frac{2 π}{0.25}$

Schritt 3.1.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$\frac{2 \cdot 3.14159265}{0.25}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$\frac{6.2831853}{0.25}$

Schritt 3.1.6

Dividiere $6.2831853$ durch $0.25$ .

$25.13274122$

Schritt 3.2

Ermittele die Periode von $- 5$ .

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Schritt 3.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.2

Ersetze $b$ durch $0.25$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 0.25 |}$

Schritt 3.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0.25$ ist $0.25$ .

$\frac{2 π}{0.25}$

Schritt 3.2.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$\frac{2 \cdot 3.14159265}{0.25}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$\frac{6.2831853}{0.25}$

Schritt 3.2.6

Dividiere $6.2831853$ durch $0.25$ .

$25.13274122$

Schritt 3.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$25.13274122$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- 2.35619449}{0.25}$

Schritt 4.3

Dividiere $- 2.35619449$ durch $0.25$ .

Phasenverschiebung: $- 9.42477796$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $0.5$

Periode: $25.13274122$

Phasenverschiebung: $- 9.42477796$ ( $9.42477796$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $- 5$

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = - 9.42477796$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 9.42477796$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sin (0.25 (- 9.42477796) + 2.35619449) - 5$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Mutltipliziere $0.25$ mit $- 9.42477796$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sin (- 2.35619449 + 2.35619449) - 5$

Schritt 6.1.2.1.2

Addiere $- 2.35619449$ und $2.35619449$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sin (0) - 5$

Schritt 6.1.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

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Schritt 6.1.2.1.3.1

Schreibe $0$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sin (\frac{0}{2}) - 5$

Schritt 6.1.2.1.3.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$f (- 9.42477796) = 0.5 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}}) - 5$

Schritt 6.1.2.1.3.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}} - 5$

Schritt 6.1.2.1.3.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}}$ .

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Schritt 6.1.2.1.3.4.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{\frac{1 - 1 \cdot 1}{2}} - 5$

Schritt 6.1.2.1.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{\frac{1 - 1}{2}} - 5$

Schritt 6.1.2.1.3.4.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{\frac{0}{2}} - 5$

Schritt 6.1.2.1.3.4.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{0} - 5$

Schritt 6.1.2.1.3.4.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{0^{2}} - 5$

Schritt 6.1.2.1.3.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 9.42477796) = 0.5 \cdot 0 - 5$

Schritt 6.1.2.1.4

Mutltipliziere $0.5$ mit $0$ .

$f (- 9.42477796) = 0 - 5$

Schritt 6.1.2.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f (- 9.42477796) = - 5$

Schritt 6.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 6.2

Bestimme den Punkt bei $x = - 3.14159265$ .

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Schritt 6.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.14159265$ .

$f (- 3.14159265) = 0.5 \sin (0.25 (- 3.14159265) + 2.35619449) - 5$

Schritt 6.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere $0.25$ mit $- 3.14159265$ .

$f (- 3.14159265) = 0.5 \sin (- 0.78539816 + 2.35619449) - 5$

Schritt 6.2.2.1.2

Addiere $- 0.78539816$ und $2.35619449$ .

$f (- 3.14159265) = 0.5 \sin (1.57079632) - 5$

Schritt 6.2.2.1.3

Mutltipliziere $0.5$ mit $\sin (1.57079632)$ .

$f (- 3.14159265) = 0.5 - 5$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $0.5$ .

$f (- 3.14159265) = - 4.5$

Schritt 6.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4.5$ .

$- 4.5$

Schritt 6.3

Bestimme den Punkt bei $x = 3.14159265$ .

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Schritt 6.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.14159265$ .

$f (3.14159265) = 0.5 \sin (0.25 (3.14159265) + 2.35619449) - 5$

Schritt 6.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1

Mutltipliziere $0.25$ mit $3.14159265$ .

$f (3.14159265) = 0.5 \sin (0.78539816 + 2.35619449) - 5$

Schritt 6.3.2.1.2

Addiere $0.78539816$ und $2.35619449$ .

$f (3.14159265) = 0.5 \sin (3.14159265) - 5$

Schritt 6.3.2.1.3

Mutltipliziere $0.5$ mit $\sin (3.14159265)$ .

$f (3.14159265) = 0 - 5$

Schritt 6.3.2.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f (3.14159265) = - 5$

Schritt 6.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 6.4

Bestimme den Punkt bei $x = 9.42477796$ .

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Schritt 6.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9.42477796$ .

$f (9.42477796) = 0.5 \sin (0.25 (9.42477796) + 2.35619449) - 5$

Schritt 6.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Mutltipliziere $0.25$ mit $9.42477796$ .

$f (9.42477796) = 0.5 \sin (2.35619449 + 2.35619449) - 5$

Schritt 6.4.2.1.2

Addiere $2.35619449$ und $2.35619449$ .

$f (9.42477796) = 0.5 \sin (4.71238898) - 5$

Schritt 6.4.2.1.3

Mutltipliziere $0.5$ mit $\sin (4.71238898)$ .

$f (9.42477796) = - 0.5 - 5$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 0.5$ .

$f (9.42477796) = - 5.5$

Schritt 6.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5.5$ .

$- 5.5$

Schritt 6.5

Bestimme den Punkt bei $x = 15.70796326$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $15.70796326$ .

$f (15.70796326) = 0.5 \sin (0.25 (15.70796326) + 2.35619449) - 5$

Schritt 6.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.2.1.1

Mutltipliziere $0.25$ mit $15.70796326$ .

$f (15.70796326) = 0.5 \sin (3.92699081 + 2.35619449) - 5$

Schritt 6.5.2.1.2

Addiere $3.92699081$ und $2.35619449$ .

$f (15.70796326) = 0.5 \sin (6.2831853) - 5$

Schritt 6.5.2.1.3

Mutltipliziere $0.5$ mit $\sin (6.2831853)$ .

$f (15.70796326) = 0 - 5$

Schritt 6.5.2.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f (15.70796326) = - 5$

Schritt 6.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5$ .

$- 5$

Schritt 6.6

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 9.425 & - 5 \\ - 3.142 & - 4.5 \\ 3.142 & - 5 \\ 9.425 & - 5.5 \\ 15.708 & - 5 \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $0.5$

Periode: $25.13274122$

Phasenverschiebung: $- 9.42477796$ ( $9.42477796$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $- 5$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 9.425 & - 5 \\ - 3.142 & - 4.5 \\ 3.142 & - 5 \\ 9.425 & - 5.5 \\ 15.708 & - 5 \end{array}$

Schritt 8