Trigonometrie Beispiele

$h = 3 + 35 t - 16 t^{2}$

Schritt 1

Vereinfache $3 + 35 x - 16 x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Bewege $3$ .

$y = 35 x - 16 x^{2} + 3$

Schritt 1.2

Stelle $35 x$ und $- 16 x^{2}$ um.

$y = - 16 x^{2} + 35 x + 3$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 16 x^{2} + 35 x + 3$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 16$

$b = 35$

$c = 3$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{35}{2 \cdot - 16}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$d = \frac{35}{- 32}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{35}{32}$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 3 - \frac{35^{2}}{4 \cdot - 16}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $35$ mit $2$ .

$e = 3 - \frac{1225}{4 \cdot - 16}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 16$ .

$e = 3 - \frac{1225}{- 64}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 3 - - \frac{1225}{64}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{1225}{64}$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 3 + 1 (\frac{1225}{64})$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1225}{64}$ mit $1$ .

$e = 3 + \frac{1225}{64}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{64}{64}$ .

$e = 3 \cdot \frac{64}{64} + \frac{1225}{64}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{64}{64}$ .

$e = \frac{3 \cdot 64}{64} + \frac{1225}{64}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{3 \cdot 64 + 1225}{64}$

Schritt 2.1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$e = \frac{192 + 1225}{64}$

Schritt 2.1.1.4.2.5.2

Addiere $192$ und $1225$ .

$e = \frac{1417}{64}$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 16 {(x - \frac{35}{32})}^{2} + \frac{1417}{64}$ ein.

$- 16 {(x - \frac{35}{32})}^{2} + \frac{1417}{64}$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 16 {(x - \frac{35}{32})}^{2} + \frac{1417}{64}$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 16$

$h = \frac{35}{32}$

$k = \frac{1417}{64}$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{35}{32}, \frac{1417}{64})$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 16}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 16$ .

$\frac{1}{- 64}$

Schritt 2.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{64}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{35}{32}, \frac{177}{8})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{35}{32}$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{709}{32}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{35}{32}, \frac{1417}{64})$

Brennpunkt: $(\frac{35}{32}, \frac{177}{8})$

Symmetrieachse: $x = \frac{35}{32}$

Leitlinie: $y = \frac{709}{32}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{35}{32}, \frac{1417}{64})$

Brennpunkt: $(\frac{35}{32}, \frac{177}{8})$

Symmetrieachse: $x = \frac{35}{32}$

Leitlinie: $y = \frac{709}{32}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 16 {(0)}^{2} + 35 (0) + 3$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - 16 \cdot 0 + 35 (0) + 3$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 35 (0) + 3$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $35$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$f (0) = 3$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - 16 {(2)}^{2} + 35 (2) + 3$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - 16 \cdot 4 + 35 (2) + 3$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$f (2) = - 64 + 35 (2) + 3$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $35$ mit $2$ .

$f (2) = - 64 + 70 + 3$

Schritt 3.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $- 64$ und $70$ .

$f (2) = 6 + 3$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $6$ und $3$ .

$f (2) = 9$

Schritt 3.5.3

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $9$ .

$y = 9$

Schritt 3.7

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ \frac{35}{32} & \frac{1417}{64} \\ 2 & 9 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(\frac{35}{32}, \frac{1417}{64})$

Brennpunkt: $(\frac{35}{32}, \frac{177}{8})$

Symmetrieachse: $x = \frac{35}{32}$

Leitlinie: $y = \frac{709}{32}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ \frac{35}{32} & \frac{1417}{64} \\ 2 & 9 \end{array}$

Schritt 5