Trigonometrie Beispiele

$g (x) = 3 \log_{3} (x + 2) - 3$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\log_{3} ({(x + 2)}^{3}) - 3$ nicht definiert ist.

$x \leq - 2$

Schritt 1.2

Da $\log_{3} ({(x + 2)}^{3}) - 3$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 2$ von links und $\log_{3} ({(x + 2)}^{3}) - 3$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 2$ von rechts, dann ist $x = - 2$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 2$

Schritt 1.3

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.4

Es gibt keine horizontalen Asymptoten, da $Q (x)$ $1$ ist.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 2$

Keine horizontalen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - 2$

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = - 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 3 \log_{3} ((- 1) + 2) - 3$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (- 1) = 3 \log_{3} (1) - 3$

Schritt 2.2.1.2

Die logarithmische Basis $3$ von $1$ ist $0$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 0 - 3$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (- 1) = 0 - 3$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$f (- 1) = - 3$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 2.3

Konvertiere $- 3$ nach Dezimal.

$y = - 3$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 3 \log_{3} ((1) + 2) - 3$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Addiere $1$ und $2$ .

$f (1) = 3 \log_{3} (3) - 3$

Schritt 3.2.1.2

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (1) = 3 \cdot 1 - 3$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = 3 - 3$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (1) = 0$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 7$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = 3 \log_{3} ((7) + 2) - 3$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Addiere $7$ und $2$ .

$f (7) = 3 \log_{3} (9) - 3$

Schritt 4.2.1.2

Die logarithmische Basis $3$ von $9$ ist $2$ .

$f (7) = 3 \cdot 2 - 3$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (7) = 6 - 3$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$f (7) = 3$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 4.3

Konvertiere $3$ nach Dezimal.

$y = 3$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = - 2$ und den Punkten $(- 1, - 3), (1, 0), (7, 3)$ .

Vertikale Asymptote: $x = - 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 3 \\ 1 & 0 \\ 7 & 3 \end{array}$

Schritt 6