Trigonometrie Beispiele

$\ln (\frac{1}{2 x} + 2)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$\frac{1}{2 x} + 2 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{2 x} = - 2$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 x, 1$

Schritt 1.2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 x$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 x} = - 2$ mit $2 x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 x} = - 2$ mit $2 x$ .

$\frac{1}{2 x} (2 x) = - 2 (2 x)$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{2 x} x = - 2 (2 x)$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 \frac{1}{2 (x)} x = - 2 (2 x)$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{2 x} x = - 2 (2 x)$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} x = - 2 (2 x)$

Schritt 1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} x = - 2 (2 x)$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = - 2 (2 x)$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$1 = - 4 x$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 x = 1$ um.

$- 4 x = 1$

Schritt 1.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{- 4}$

Schritt 1.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = - \frac{1}{4}$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = - \frac{1}{4}$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{2 (1)} + 2)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1) = \ln (\frac{1}{2 \cdot 1} + 2)$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (1) = \ln (\frac{1}{2} + 2)$

Schritt 2.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = \ln (\frac{1 + 2 \cdot 2}{2})$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (1) = \ln (\frac{1 + 4}{2})$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $1$ und $4$ .

$f (1) = \ln (\frac{5}{2})$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung ist $\ln (\frac{5}{2})$ .

$\ln (\frac{5}{2})$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (\frac{5}{2})$ nach Dezimal.

$y = 0.91629073$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln (\frac{1}{2 (2)} + 2)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \ln (\frac{1}{4} + 2)$

Schritt 3.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = \ln (\frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = \ln (\frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4})$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \ln (\frac{1 + 2 \cdot 4}{4})$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = \ln (\frac{1 + 8}{4})$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $1$ und $8$ .

$f (2) = \ln (\frac{9}{4})$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\ln (\frac{9}{4})$ .

$\ln (\frac{9}{4})$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (\frac{9}{4})$ nach Dezimal.

$y = 0.81093021$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{1}{2 (3)} + 2)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{1}{6} + 2)$

Schritt 4.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$f (3) = \ln (\frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{6}{6})$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{6}{6}$ .

$f (3) = \ln (\frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6})$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = \ln (\frac{1 + 2 \cdot 6}{6})$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f (3) = \ln (\frac{1 + 12}{6})$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $1$ und $12$ .

$f (3) = \ln (\frac{13}{6})$

Schritt 4.2.6

Die endgültige Lösung ist $\ln (\frac{13}{6})$ .

$\ln (\frac{13}{6})$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (\frac{13}{6})$ nach Dezimal.

$y = 0.77318988$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = - \frac{1}{4}$ und den Punkten $(1, 0.91629073), (2, 0.81093021), (3, 0.77318988)$ .

Vertikale Asymptote: $x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.916 \\ 2 & 0.811 \\ 3 & 0.773 \end{array}$

Schritt 6