Trigonometrie Beispiele

$P (t) = - 3500 \cos (\frac{π}{5} t) + 3500$

Schritt 1

Wende die Form $a \cos (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 3500$

$b = \frac{π}{5}$

$c = 0$

$d = 3500$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $3500$

Schritt 3

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 3.1

Ermittele die Periode von $- 3500 \cos (\frac{π x}{5})$ .

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Schritt 3.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{5}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{5} |}$

Schritt 3.1.3

$\frac{π}{5}$ ist ungefähr $0.62831853$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{5}}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{5}{π}$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.1.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{5}{π}$

Schritt 3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{5}{π}$

Schritt 3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 5$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10$

Schritt 3.2

Ermittele die Periode von $3500$ .

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Schritt 3.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{5}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{5} |}$

Schritt 3.2.3

$\frac{π}{5}$ ist ungefähr $0.62831853$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{5}}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{5}{π}$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{5}{π}$

Schritt 3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{5}{π}$

Schritt 3.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 5$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10$

Schritt 3.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$10$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{\frac{π}{5}}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $0 (\frac{5}{π})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{5}{π}$ .

Phasenverschiebung: $0$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $3500$

Periode: $10$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: $3500$

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 3500 \cos (\frac{π (0)}{5}) + 3500$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $π (0)$ heraus.

$f (0) = - 3500 \cos (\frac{5 (π \cdot (0))}{5}) + 3500$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f (0) = - 3500 \cos (\frac{5 (π \cdot (0))}{5 (1)}) + 3500$

Schritt 6.1.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = - 3500 \cos (\frac{5 (π \cdot (0))}{5 \cdot 1}) + 3500$

Schritt 6.1.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = - 3500 \cos (\frac{π \cdot (0)}{1}) + 3500$

Schritt 6.1.2.1.1.2.4

Dividiere $π \cdot (0)$ durch $1$ .

$f (0) = - 3500 \cos (π \cdot (0)) + 3500$

Schritt 6.1.2.1.2

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$f (0) = - 3500 \cos (0) + 3500$

Schritt 6.1.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = - 3500 \cdot 1 + 3500$

Schritt 6.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 3500$ mit $1$ .

$f (0) = - 3500 + 3500$

Schritt 6.1.2.2

Addiere $- 3500$ und $3500$ .

$f (0) = 0$

Schritt 6.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.2

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ 10 & 0 \\ 20 & 0 \\ 30 & 0 \\ 40 & 0 \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $3500$

Periode: $10$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: $3500$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ 10 & 0 \\ 20 & 0 \\ 30 & 0 \\ 40 & 0 \end{array}$

Schritt 8