Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 5 \tan (3 x - 2) + 1$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 5 \tan (3 x - 2) + 1$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 5 \tan (3 x - 2) + 1$ auftritt.

$3 x - 2 = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - \frac{π}{2} + 2$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{2} + 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{2} + 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Tangensfunktion $3 x - 2$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$3 x - 2 = \frac{π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{π}{2} + 2$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{2} + 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{2} + 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.4.2.3.1.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 1.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{2}{3}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = 5 \tan (3 x - 2) + 1$ tritt auf bei $(- \frac{π}{6} + \frac{2}{3}, \frac{π}{6} + \frac{2}{3})$ , wobei $- \frac{π}{6} + \frac{2}{3}$ und $\frac{π}{6} + \frac{2}{3}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{π}{6} + \frac{2}{3}, \frac{π}{6} + \frac{2}{3})$

Schritt 1.6

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 5 \tan (3 x - 2) + 1$ treten auf bei $- \frac{π}{6} + \frac{2}{3}$ , $\frac{π}{6} + \frac{2}{3}$ und aller $x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3} + \frac{π n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3} + \frac{π n}{3}$

Schritt 1.8

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3} + \frac{π n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3} + \frac{π n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \tan (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 5$

$b = 3$

$c = 2$

$d = 1$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $t a n$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $5 \tan (3 x - 2)$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 4.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $1$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 4.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$\frac{π}{3}$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{2}{3}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{π}{3}$

Phasenverschiebung: $\frac{2}{3}$ ( $\frac{2}{3}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $1$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3} + \frac{π n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{π}{3}$

Phasenverschiebung: $\frac{2}{3}$ ( $\frac{2}{3}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $1$

Schritt 8