Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 6 | \cot (\frac{π}{12} x) |$

Schritt 1

Bestimme den Scheitelpunkt des Absolutwerts. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt für $y = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ gleich $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

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Schritt 1.1

Setze das Innere des Absolutwertes $\cot (\frac{π x}{12})$ gleich $0$ , um die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen. In diesem Fall: $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ .

$\cot (\frac{π x}{12}) = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ , um die $x$ -Koordinate der Absolutwert-Spitze zu ermitteln.

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Schritt 1.2.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$\frac{π x}{12} = arccot (0)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{6}{π} π$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6}{π} π$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 6$

Schritt 1.2.5

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$\frac{π x}{12} = π + \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Vereinfache $\frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.6.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 2 + π)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6}{π} (2 π + π)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.6.2.2.1.4.1

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{6}{π} (3 π)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.4.2.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 6 \cdot 3$

Schritt 1.2.6.2.2.1.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = 18$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von $\cot (\frac{π x}{12})$ .

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Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{12}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{π}{12} |}$

Schritt 1.2.7.3

$\frac{π}{12}$ ist ungefähr $0.26179938$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{π}{12}}$

Schritt 1.2.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{12}{π}$

Schritt 1.2.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \frac{12}{π}$

Schritt 1.2.7.5.2

Forme den Ausdruck um.

$12$

Schritt 1.2.8

Die Periode der Funktion $\cot (\frac{π x}{12})$ ist $12$ , d. h., Werte werden sich alle $12$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 6 + 12 n, 18 + 12 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 6 + 12 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6 + 12 n$ .

$y = 6 | \cot (\frac{π (6 + 12 n)}{12}) |$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 + 12 n$ und $12$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $6$ aus $π (6 + 12 n)$ heraus.

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{12}) |$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 (2)}) |$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 \cdot 2}) |$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

Schritt 1.5

Die Absolutwert-Spitze ist $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Betragsfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 2.1

Setze das Argument in $\cot (\frac{π x}{12})$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{π x}{12} = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Schritt 2.2.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π n)$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Schritt 2.2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Faktorisiere $π$ aus $π n$ heraus.

$x = \frac{12}{π} (π (n))$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Schritt 2.2.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 12 n$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 12 n}$ , für jede ganze Zahl $n$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 12 n}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 + 12 n & 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Schritt 4