Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - 6 (\frac{1}{4} x - p) - 3$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $6 (\frac{1}{4} x - p)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y + 6 (\frac{1}{4} x - p) = - 3$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$y + 6 (\frac{x}{4} - p) = - 3$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 6 \frac{x}{4} + 6 (- p) = - 3$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y + 2 (3) \frac{x}{4} + 6 (- p) = - 3$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + 2 \cdot 3 \frac{x}{2 \cdot 2} + 6 (- p) = - 3$

Schritt 1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 2 \cdot 3 \frac{x}{2 \cdot 2} + 6 (- p) = - 3$

Schritt 1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y + 3 \frac{x}{2} + 6 (- p) = - 3$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{2}$ .

$y + \frac{3 x}{2} + 6 (- p) = - 3$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y + \frac{3 x}{2} - 6 p = - 3$

Schritt 1.3

Bewege $y$ .

$\frac{3 x}{2} - 6 p + y = - 3$

Schritt 1.4

Stelle $\frac{3 x}{2}$ und $- 6 p$ um.

$- 6 p + \frac{3 x}{2} + y = - 3$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = \sqrt{2}$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2^{1} + {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{2 + {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{2 + 1}$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\sqrt{3}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\sqrt{2}, 0)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \sqrt{2}, 0)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\sqrt{3}, 0)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \sqrt{3}, 0)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Schritt 8

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 8.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 8.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 8.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 8.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 8.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 9

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x + 0$

Schritt 10

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} x + 0$ .

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Schritt 10.1

Addiere $\frac{\sqrt{2}}{2} x$ und $0$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} x$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2}$

Schritt 11

Vereinfache $- \frac{\sqrt{2}}{2} x + 0$ .

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Schritt 11.1

Addiere $- \frac{\sqrt{2}}{2} x$ und $0$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x$

Schritt 11.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Schritt 12

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2}, y = - \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Schritt 13

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

Scheitelpunkte: $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Brennpunkte: $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Exzentrizität: $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Fokaler Parameter: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Asymptoten: $y = \frac{\sqrt{2} x}{2}$ , $y = - \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Schritt 14