Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \ln (\arcsin (\frac{x + 2}{5 - x}))$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$\arcsin (\frac{x + 2}{5 - x}) = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$\frac{x + 2}{5 - x} = \sin (0)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{x + 2}{5 - x}$ in zwei Brüche.

$\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = \sin (0)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = 0$

Schritt 1.2.4

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$5 - x, 5 - x, 1$

Schritt 1.2.4.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.2.4.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.4.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.2.4.5

Der Teiler von $5 - x$ ist $5 - x$ selbst.

$(5 - x) = 5 - x$

$(5 - x)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.2.4.6

Das kgV von $5 - x, 5 - x$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$5 - x$

Schritt 1.2.5

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = 0$ mit $5 - x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.5.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = 0$ mit $5 - x$ .

$\frac{x}{5 - x} (5 - x) + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 - x$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{5 - x} (5 - x) + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 - x$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Schritt 1.2.5.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 2 = 0 (5 - x)$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $5 - x$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.6

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = - 2$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = - 2$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = - 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{(- 1) + 2}{5 - (- 1)}))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{1}{5 - (- 1)}))$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{1}{5 + 1}))$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $5$ und $1$ .

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{1}{6}))$

Schritt 2.2.3

Berechne $\arcsin (\frac{1}{6})$ .

$f (- 1) = \ln (0.16744807)$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (0.16744807)$ .

$\ln (0.16744807)$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{(0) + 2}{5 - (0)}))$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Addiere $0$ und $2$ .

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{2}{5 - (0)}))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{2}{5 + 0}))$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $5$ und $0$ .

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{2}{5}))$

Schritt 3.2.3

Berechne $\arcsin (\frac{2}{5})$ .

$f (0) = \ln (0.41151684)$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (0.41151684)$ .

$\ln (0.41151684)$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{(1) + 2}{5 - (1)}))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ und $2$ .

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{3}{5 - (1)}))$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{3}{5 - 1}))$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{3}{4}))$

Schritt 4.2.3

Berechne $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$f (1) = \ln (0.84806207)$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (0.84806207)$ .

$\ln (0.84806207)$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = - 2$ und den Punkten $(- 1, - 1.78708195), (0, - 0.88790532), (1, - 0.16480143)$ .

Vertikale Asymptote: $x = - 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1.787 \\ 0 & - 0.888 \\ 1 & - 0.165 \end{array}$

Schritt 6