Trigonometrie Beispiele

$\sec (\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3}))$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ verläuft. Folglich ist $\sec (\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ $\sqrt{1 + {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{3}$ an.

$\sqrt{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{1 + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 + \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

Schritt 2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{1 + \frac{3}{3^{2}}}$

Schritt 3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{3}{9}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\sqrt{1 + \frac{3 (1)}{9}}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{1 + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{1 + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{1 + \frac{1}{3}}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3 + 1}{3}}$

Schritt 5.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 6

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 9.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 9.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 9.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 9.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$1.15470053 \dots$