Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - 12 + 9 \cos (\frac{π}{4}) (x - 3)$

Schritt 1

Schreibe die Funktion als Gleichung um.

$y = - 12 + \frac{9 \sqrt{2} x}{2} - \frac{27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Stelle $- 12$ und $\frac{9 \sqrt{2} x}{2}$ um.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} - 12 - \frac{27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Forme zur Normalform um.

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Schritt 3.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 3.2

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.2.1

Ordne Terme um.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} - 12 - \frac{27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2.2

Um $- 12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} - 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $- 12$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2} - \frac{27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 12 \cdot 2 - 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 24 - 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2.6

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (24) - 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 27 \sqrt{2}$ heraus.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (24) - (27 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 3.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (24) - (27 \sqrt{2})$ heraus.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (24 + 27 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 3.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2.10

Stelle die Terme um.

$y = \frac{9 \sqrt{2}}{2} x - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Benutze die Normalform, um die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Ermittle die Werte von $m$ und $b$ unter Anwendung der Form $y = m x + b$ .

$m = \frac{9}{2}$

$b = - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2

Die Steigung der Geraden ist der Wert von $m$ und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Wert von $b$ .

Steigung: $\frac{9}{2}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2})$

Steigung: $\frac{9}{2}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2})$

Schritt 5

Jede Gerade kann mittels zweier Punkte gezeichnet werden. Wähle zwei $x$ -Werte und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu finden.

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Schritt 5.1

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 5.1.1

Stelle $- 12$ und $\frac{9 \sqrt{2} x}{2}$ um.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} - 12 - \frac{27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.1.2

Um $- 12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} - 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.1.3

Kombiniere $- 12$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2} - \frac{27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 12 \cdot 2 - 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 24 - 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (24) - 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.1.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 27 \sqrt{2}$ heraus.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (24) - (27 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 5.1.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (24) - (27 \sqrt{2})$ heraus.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (24 + 27 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 5.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{9 \sqrt{2} x}{2} - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.1.10

Stelle die Terme um.

$y = \frac{9 \sqrt{2}}{2} x - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2

Finde den Schnittpunkt mit der x-Achse.

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Schritt 5.2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{9 \sqrt{2}}{2} x - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{9 \sqrt{2}}{2} x - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2} = 0$ um.

$\frac{9 \sqrt{2}}{2} x - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2} = 0$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache $\frac{9 \sqrt{2}}{2} x - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ und $x$ .

$\frac{9 \sqrt{2} x}{2} - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2} = 0$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 \sqrt{2} x - (24 + 27 \sqrt{2})}{2} = 0$

Schritt 5.2.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \sqrt{2} x - 1 \cdot 24 - (27 \sqrt{2})}{2} = 0$

Schritt 5.2.2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$\frac{9 \sqrt{2} x - 24 - (27 \sqrt{2})}{2} = 0$

Schritt 5.2.2.2.2.3

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$\frac{9 \sqrt{2} x - 24 - 27 \sqrt{2}}{2} = 0$

Schritt 5.2.2.2.3

Faktorisiere $3$ aus $9 \sqrt{2} x - 24 - 27 \sqrt{2}$ heraus.

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Schritt 5.2.2.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9 \sqrt{2} x$ heraus.

$\frac{3 (3 \sqrt{2} x) - 24 - 27 \sqrt{2}}{2} = 0$

Schritt 5.2.2.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 24$ heraus.

$\frac{3 (3 \sqrt{2} x) + 3 (- 8) - 27 \sqrt{2}}{2} = 0$

Schritt 5.2.2.2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 27 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{3 (3 \sqrt{2} x) + 3 (- 8) + 3 (- 9 \sqrt{2})}{2} = 0$

Schritt 5.2.2.2.3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 \sqrt{2} x) + 3 (- 8)$ heraus.

$\frac{3 (3 \sqrt{2} x - 8) + 3 (- 9 \sqrt{2})}{2} = 0$

Schritt 5.2.2.2.3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 \sqrt{2} x - 8) + 3 (- 9 \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{3 (3 \sqrt{2} x - 8 - 9 \sqrt{2})}{2} = 0$

Schritt 5.2.2.3

Setze den Zähler gleich Null.

$3 (3 \sqrt{2} x - 8 - 9 \sqrt{2}) = 0$

Schritt 5.2.2.4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (3 \sqrt{2} x - 8 - 9 \sqrt{2}) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (3 \sqrt{2} x - 8 - 9 \sqrt{2}) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (3 \sqrt{2} x - 8 - 9 \sqrt{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.2.4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (3 \sqrt{2} x - 8 - 9 \sqrt{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.2.4.1.2.1.2

Dividiere $3 \sqrt{2} x - 8 - 9 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$3 \sqrt{2} x - 8 - 9 \sqrt{2} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.2.4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$3 \sqrt{2} x - 8 - 9 \sqrt{2} = 0$

Schritt 5.2.2.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.2.4.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sqrt{2} x - 9 \sqrt{2} = 8$

Schritt 5.2.2.4.2.2

Addiere $9 \sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sqrt{2} x = 8 + 9 \sqrt{2}$

Schritt 5.2.2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $3 \sqrt{2} x = 8 + 9 \sqrt{2}$ durch $3 \sqrt{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sqrt{2} x = 8 + 9 \sqrt{2}$ durch $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} x}{3 \sqrt{2}} = \frac{8}{3 \sqrt{2}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{2} x}{3 \sqrt{2}} = \frac{8}{3 \sqrt{2}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{2}} = \frac{8}{3 \sqrt{2}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{2}$ .

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Schritt 5.2.2.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{2}} = \frac{8}{3 \sqrt{2}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{3 \sqrt{2}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.4.3.3.1.1

Mutltipliziere $\frac{8}{3 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \frac{8}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{8}{3 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{8 \sqrt{2}}{3 \cdot 2} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 5.2.2.4.3.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \sqrt{2}$ heraus.

$x = \frac{2 (4 \sqrt{2})}{3 \cdot 2} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.4.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $3 \cdot 2$ heraus.

$x = \frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + \frac{9 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 5.2.2.4.3.3.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9 \sqrt{2}$ heraus.

$x = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + \frac{3 (3 \sqrt{2})}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + \frac{3 (3 \sqrt{2})}{3 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2.4.3.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 3$

Schritt 5.2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 3, 0)$

Schritt 5.3

Finde den Schnittpunkt mit der y-Achse.

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Schritt 5.3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (0) - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Multipliziere $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ mit $0$ .

$y = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot 0 - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (0) - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache $\frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (0) - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ mit $0$ .

$y = 0 - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.2.3.2

Subtrahiere $\frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$ von $0$ .

$y = - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.4

Erstelle eine Tabelle mit den $x$ - und $y$ -Werten.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2} \\ \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 3 & 0 \end{array}$

Schritt 6

Zeichne die Gerade mittels der Steigung und der y-Achsenabschnitte oder der Punkte.

Steigung: $\frac{9}{2}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2})$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - \frac{24 + 27 \sqrt{2}}{2} \\ \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 3 & 0 \end{array}$

Schritt 7