Trigonometrie Beispiele

$f (x) = x^{3} - \frac{14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $x^{3} - \frac{14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

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Schritt 5.1.1

Um $x^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} x^{2}}{x^{2}} - \frac{14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Schritt 5.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{3} x^{2} - 14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3 + 2} - 14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Schritt 5.1.3.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{x^{5} - 14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Schritt 5.1.4

Um $\frac{x^{5} - 14}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{5} - 14}{x^{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 5.1.5

Um $- \frac{5}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{5} - 14}{x^{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5.1.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{x^{5} - 14}{x^{2}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} - \frac{5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 5.1.6.3

Stelle die Faktoren von $x^{2} \cdot 3$ um.

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3}{3 x^{2}} - \frac{5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 5.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{5} \cdot 3 - 14 \cdot 3 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 5.1.8.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} - 14 \cdot 3 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 5.1.8.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $3$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} - 42 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 5.1.8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x^{5} - 5 x^{2} - 42}{3 x^{2}}$

Schritt 5.1.9

Vereinfache.

$\frac{3 x^{5} - 5 x^{2} - 42}{3 x^{2}}$

Schritt 5.2

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

Schritt 5.3

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

Schritt 5.4

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

$3 x^{5}$

$0$

Schritt 5.5

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{5} + 0 + 0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

$3 x^{5}$

$0$

Schritt 5.6

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$x^{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$

Schritt 5.7

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

						$x^{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$

Schritt 5.8

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$\frac{5}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

$3 x^{5}$

$0$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

Schritt 5.9

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$\frac{5}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
											-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$0$

Schritt 5.10

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{2} + 0 + 0$

						$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$\frac{5}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
											+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Schritt 5.11

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$\frac{5}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
											+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$0$
															-	$42$

Schritt 5.12

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x^{3} - \frac{5}{3} - \frac{42}{3 x^{2}}$

Schritt 5.13

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x^{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x^{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 7