Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 3 \cos (0.5 π x) + 1$

Schritt 1

Wende die Form $a \cos (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 3$

$b = 1.57079632$

$c = 0$

$d = 1$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $3$

Schritt 3

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 3.1

Ermittele die Periode von $3 \cos (1.57079632 x)$ .

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Schritt 3.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.1.2

Ersetze $b$ durch $1.57079632$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1.57079632 |}$

Schritt 3.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1.57079632$ ist $1.57079632$ .

$\frac{2 π}{1.57079632}$

Schritt 3.1.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$\frac{2 \cdot 3.14159265}{1.57079632}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$\frac{6.2831853}{1.57079632}$

Schritt 3.1.6

Dividiere $6.2831853$ durch $1.57079632$ .

$4$

Schritt 3.2

Ermittele die Periode von $1$ .

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Schritt 3.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.2

Ersetze $b$ durch $1.57079632$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1.57079632 |}$

Schritt 3.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1.57079632$ ist $1.57079632$ .

$\frac{2 π}{1.57079632}$

Schritt 3.2.4

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$\frac{2 \cdot 3.14159265}{1.57079632}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$\frac{6.2831853}{1.57079632}$

Schritt 3.2.6

Dividiere $6.2831853$ durch $1.57079632$ .

$4$

Schritt 3.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$4$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{1.57079632}$

Schritt 4.3

Dividiere $0$ durch $1.57079632$ .

Phasenverschiebung: $0$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $3$

Periode: $4$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: $1$

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 3 \cos (1.57079632 (0)) + 1$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Mutltipliziere $1.57079632$ mit $0$ .

$f (0) = 3 \cos (0) + 1$

Schritt 6.1.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = 3 \cdot 1 + 1$

Schritt 6.1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (0) = 3 + 1$

Schritt 6.1.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$f (0) = 4$

Schritt 6.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 6.2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 6.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 3 \cos (1.57079632 (1)) + 1$

Schritt 6.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $1.57079632$ mit $1$ .

$f (1) = 3 \cos (1.57079632) + 1$

Schritt 6.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 \cos (1.57079632) + 1$ .

$3 \cos (1.57079632) + 1$

Schritt 6.2.3

Wandle $3 \cos (1.57079632) + 1$ in eine Dezimalzahl um.

$1$

Schritt 6.3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 6.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 3 \cos (1.57079632 (2)) + 1$

Schritt 6.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $1.57079632$ mit $2$ .

$f (2) = 3 \cos (3.14159265) + 1$

Schritt 6.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 \cos (3.14159265) + 1$ .

$3 \cos (3.14159265) + 1$

Schritt 6.3.3

Wandle $3 \cos (3.14159265) + 1$ in eine Dezimalzahl um.

$- 2$

Schritt 6.4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 6.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 3 \cos (1.57079632 (3)) + 1$

Schritt 6.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $1.57079632$ mit $3$ .

$f (3) = 3 \cos (4.71238898) + 1$

Schritt 6.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 \cos (4.71238898) + 1$ .

$3 \cos (4.71238898) + 1$

Schritt 6.4.3

Wandle $3 \cos (4.71238898) + 1$ in eine Dezimalzahl um.

$1$

Schritt 6.5

Bestimme den Punkt bei $x = 4$ .

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Schritt 6.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = 3 \cos (1.57079632 (4)) + 1$

Schritt 6.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.5.2.1

Mutltipliziere $1.57079632$ mit $4$ .

$f (4) = 3 \cos (6.2831853) + 1$

Schritt 6.5.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 \cos (6.2831853) + 1$ .

$3 \cos (6.2831853) + 1$

Schritt 6.5.3

Wandle $3 \cos (6.2831853) + 1$ in eine Dezimalzahl um.

$4$

Schritt 6.6

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 4 \\ 1 & 1 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $3$

Periode: $4$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 4 \\ 1 & 1 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array}$

Schritt 8