Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2 \cot (\frac{π}{4} x + 1)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \cot (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \cot (x)$ , $(0, π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \cot (\frac{π x}{4} + 1)$ zu bestimmen. Setze das Innere der Kotangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \cot (b x + c) + d$ gleich $0$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 2 \cot (\frac{π x}{4} + 1)$ auftritt.

$\frac{π x}{4} + 1 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{4} = - 1$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot - 1$

Schritt 1.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} \cdot - 1$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Multipliziere $\frac{4}{π} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{π}$ und $- 1$ .

$x = \frac{4 \cdot - 1}{π}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4}{π}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{π}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Kotangensfunktion $\frac{π x}{4} + 1$ gleich $π$ .

$\frac{π x}{4} + 1 = π$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{4} = π - 1$

Schritt 1.4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - 1)$

Schritt 1.4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Schritt 1.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.4.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - 1)$

Schritt 1.4.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - 1)$

Schritt 1.4.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π - 1)$

Schritt 1.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - 1)$

Schritt 1.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} (π - 1)$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} (π - 1)$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{4}{π} π + \frac{4}{π} \cdot - 1$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4}{π} π + \frac{4}{π} \cdot - 1$

Schritt 1.4.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 + \frac{4}{π} \cdot - 1$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Multipliziere $\frac{4}{π} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{4}{π}$ und $- 1$ .

$x = 4 + \frac{4 \cdot - 1}{π}$

Schritt 1.4.3.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = 4 + \frac{- 4}{π}$

Schritt 1.4.3.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 4 - \frac{4}{π}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = 2 \cot (\frac{π x}{4} + 1)$ tritt auf bei $(- \frac{4}{π}, 4 - \frac{4}{π})$ , wobei $- \frac{4}{π}$ und $4 - \frac{4}{π}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{4}{π}, 4 - \frac{4}{π})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 1.6.1

$\frac{π}{4}$ ist ungefähr $0.78539816$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{4}{π}$

Schritt 1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \frac{4}{π}$

Schritt 1.6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \cot (\frac{π x}{4} + 1)$ treten auf bei $- \frac{4}{π}$ , $4 - \frac{4}{π}$ und aller $x = - \frac{4}{π} + 4 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = - \frac{4}{π} + 4 n$

Schritt 1.8

Der Kotangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{4}{π} + 4 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{4}{π} + 4 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \cot (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 2$

$b = \frac{π}{4}$

$c = - 1$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $c o t$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $2 \cot (\frac{π x}{4} + 1)$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

Schritt 4.3

$\frac{π}{4}$ ist ungefähr $0.78539816$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{4}{π}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \frac{4}{π}$

Schritt 4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$4$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- 1}{\frac{π}{4}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- \frac{4}{π}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $4$

Phasenverschiebung: $- \frac{4}{π}$ ( $\frac{4}{π}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{4}{π} + 4 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $4$

Phasenverschiebung: $- \frac{4}{π}$ ( $\frac{4}{π}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8