Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \sqrt{2 x - 5}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \sqrt{2 x - 5}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x - 5}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 5 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq 5$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{5}{2}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[\frac{5}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq \frac{5}{2}}$

Intervallschreibweise:

$[\frac{5}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq \frac{5}{2}}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $\frac{5}{2}$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{5}{2}) - 5}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{5 - 5}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{5}{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(\frac{5}{2}, 0)$ .

$(\frac{5}{2}, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, 1)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \sqrt{2 (3) - 5}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (3) = \sqrt{6 - 5}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$f (3) = \sqrt{1}$

Schritt 4.1.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (3) = 1$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $4$ in $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(4, \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \sqrt{2 (4) - 5}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 - 5}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$f (4) = \sqrt{3}$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3}$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $5$ in $f (x) = \sqrt{2 x - 5}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5, \sqrt{5})$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \sqrt{2 (5) - 5}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (5) = \sqrt{10 - 5}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$f (5) = \sqrt{5}$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Schritt 4.4

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(2.5, 0), (3, 1), (4, 1.73), (5, 2.24)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 2.5 & 0 \\ 3 & 1 \\ 4 & 1.73 \\ 5 & 2.24 \end{array}$

Schritt 5