Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze das Argument in $\log_{3} (11 - x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$11 - x > 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x > - 11$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x > - 11$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x > - 11$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 11$ durch $- 1$ .

$x < 11$

Schritt 1.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 5}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 5 \geq 0$

Schritt 1.4

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 5$

Schritt 1.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[5, 11)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 5 \leq x < 11}$

Intervallschreibweise:

$[5, 11)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 5 \leq x < 11}$

Schritt 2

Um die Endpunkte zu finden, setze die Schranken der $x$ -Werte des Definitionsbereichs in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \sqrt{(5) - 5} - \log_{3} (11 - (5))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (5) = \sqrt{0} - \log_{3} (11 - (5))$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (5) = \sqrt{0^{2}} - \log_{3} (11 - (5))$

Schritt 2.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (5) = 0 - \log_{3} (11 - (5))$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (5) = 0 - \log_{3} (11 - 5)$

Schritt 2.2.1.5

Subtrahiere $5$ von $11$ .

$f (5) = 0 - \log_{3} (6)$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $\log_{3} (6)$ von $0$ .

$f (5) = - \log_{3} (6)$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \log_{3} (6)$ .

$- \log_{3} (6)$

Schritt 2.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $11$ .

$f (11) = \sqrt{(11) - 5} - \log_{3} (11 - (11))$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $5$ von $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (11 - (11))$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (11 - 11)$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $11$ von $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (0)$

Schritt 2.4.4

Der Logarithmus von null ist nicht definiert.

$f (11) = Undefined$

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (0)$

Schritt 2.5

Der Logarithmus von null ist nicht definiert.

$f (11) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 3

Die Endpunkte sind $(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined)$ .

$(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $6$ in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(6, 1 - \log_{3} (5))$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \sqrt{(6) - 5} - \log_{3} (11 - (6))$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$f (6) = \sqrt{1} - \log_{3} (11 - (6))$

Schritt 4.1.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (11 - (6))$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (11 - 6)$

Schritt 4.1.2.1.4

Subtrahiere $6$ von $11$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (5)$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $1 - \log_{3} (5)$ .

$y = 1 - \log_{3} (5)$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $7$ in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(7, \sqrt{2} - \log_{3} (4))$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = \sqrt{(7) - 5} - \log_{3} (11 - (7))$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (11 - (7))$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (11 - 7)$

Schritt 4.2.2.1.3

Subtrahiere $7$ von $11$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (4)$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{2} - \log_{3} (4)$ .

$y = \sqrt{2} - \log_{3} (4)$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $8$ in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(8, \sqrt{3} - 1)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = \sqrt{(8) - 5} - \log_{3} (11 - (8))$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (11 - (8))$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (11 - 8)$

Schritt 4.3.2.1.3

Subtrahiere $8$ von $11$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (3)$

Schritt 4.3.2.1.4

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (8) = \sqrt{3} - 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (8) = \sqrt{3} - 1$

Schritt 4.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{3} - 1$ .

$y = \sqrt{3} - 1$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $9$ in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(9, 2 - \log_{3} (2))$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = \sqrt{(9) - 5} - \log_{3} (11 - (9))$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$f (9) = \sqrt{4} - \log_{3} (11 - (9))$

Schritt 4.4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (9) = \sqrt{2^{2}} - \log_{3} (11 - (9))$

Schritt 4.4.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (9) = 2 - \log_{3} (11 - (9))$

Schritt 4.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (9) = 2 - \log_{3} (11 - 9)$

Schritt 4.4.2.1.5

Subtrahiere $9$ von $11$ .

$f (9) = 2 - \log_{3} (2)$

Schritt 4.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 - \log_{3} (2)$ .

$y = 2 - \log_{3} (2)$

Schritt 4.5

Setze den $x$ -Wert $10$ in $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(10, \sqrt{5})$ .

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Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f (10) = \sqrt{(10) - 5} - \log_{3} (11 - (10))$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (11 - (10))$

Schritt 4.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (11 - 10)$

Schritt 4.5.2.1.3

Subtrahiere $10$ von $11$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (1)$

Schritt 4.5.2.1.4

Die logarithmische Basis $3$ von $1$ ist $0$ .

$f (10) = \sqrt{5} - 0$

Schritt 4.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (10) = \sqrt{5} + 0$

Schritt 4.5.2.2

Addiere $\sqrt{5}$ und $0$ .

$f (10) = \sqrt{5}$

Schritt 4.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Schritt 4.6

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined), (6, - 0.46), (7, 0.15), (8, 0.73), (9, 1.37), (10, 2.24)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & - \log_{3} (6) \\ 6 & - 0.46 \\ 7 & 0.15 \\ 8 & 0.73 \\ 9 & 1.37 \\ 10 & 2.24 \\ 11 & Undefined \end{array}$

Schritt 5