Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{19 π}{12})$

Schritt 1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $\frac{19 π}{12}$ in $\frac{5 π}{4} + \frac{π}{3}$ aufgeteilt werden.

$\tan (\frac{5 π}{4} + \frac{π}{3})$

Schritt 2

Benutze die Summenformel für den Tangens, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{5 π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Schritt 3.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Schritt 3.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1 \tan (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}$

Schritt 4.5

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Potenziere $1 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 7.2

Potenziere $1 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Schritt 7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Schritt 7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Schritt 8

Schreibe ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 9

Multipliziere $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Schritt 10.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Schritt 10.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Schritt 10.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 10.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 2 \sqrt{3}$ und $- 2$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 11.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 11.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Schritt 12

Schreibe $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ als $- (2 + \sqrt{3})$ um.

$- (2 + \sqrt{3})$

Schritt 13

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Schritt 14

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 3.73205080 \dots$