Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - \log_{3} (- \frac{1}{3} x)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$- \frac{x}{3} = 0$

Schritt 1.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 0$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = - 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - \log_{3} (- \frac{1}{3} \cdot - 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - \log_{3} (1 (\frac{1}{3}))$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$f (- 1) = - \log_{3} (\frac{1}{3})$

Schritt 2.2.2

Die logarithmische Basis $3$ von $\frac{1}{3}$ ist $- 1$ .

$f (- 1) = 1$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 2.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$= 1$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = - 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = - \log_{3} (- \frac{1}{3} \cdot - 2)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (- 2) = - \log_{3} (2 (\frac{1}{3}))$

Schritt 3.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (- 2) = - \log_{3} (\frac{2}{3})$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{2}{3}$ als $2 \cdot 3^{- 1}$ um.

$f (- 2) = - \log_{3} (2 \cdot 3^{- 1})$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\log_{3} (2 \cdot 3^{- 1})$ als $\log_{3} (2) + \log_{3} (3^{- 1})$ um.

$f (- 2) = - (\log_{3} (2) + \log_{3} (3^{- 1}))$

Schritt 3.2.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (- 2) = - (\log_{3} (2) - \log_{3} (3))$

Schritt 3.2.5

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (- 2) = - (\log_{3} (2) - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 2) = - (\log_{3} (2) - 1)$

Schritt 3.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 2) = - \log_{3} (2) + 1$

Schritt 3.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \log_{3} (2) + 1$ .

$- \log_{3} (2) + 1$

Schritt 3.3

Konvertiere $- \log_{3} (2) + 1$ nach Dezimal.

$= 0.36907024$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - \log_{3} (- \frac{1}{3} \cdot - 3)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$f (- 3) = - \log_{3} (\frac{- 1}{3} \cdot - 3)$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (- 3) = - \log_{3} (\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1)))$

Schritt 4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3) = - \log_{3} (\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Schritt 4.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3) = - \log_{3} (- 1 \cdot - 1)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 3) = - \log_{3} (1)$

Schritt 4.2.3

Die logarithmische Basis $3$ von $1$ ist $0$ .

$f (- 3) = - 0$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (- 3) = 0$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$= 0$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(- 1, 1), (- 2, 0.36907024), (- 3, 0)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 0.369 \\ - 1 & 1 \end{array}$

Schritt 6