Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{2}{3} \cdot \tan (\frac{3}{4} x + π) - 2$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} + π)}{3} - 2$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} + π)}{3} - 2$ auftritt.

$\frac{3 x}{4} + π = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2} - π$

Schritt 1.2.1.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x}{4} = \frac{- π - π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{- π - 2 π}{2}$

Schritt 1.2.1.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $- π$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{- 3 π}{2}$

Schritt 1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 x}{4} = - \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Schritt 1.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Schritt 1.2.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Schritt 1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 π}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{4}{3} \cdot \frac{- 3 π}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{- 3 π}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 3 π}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3} (- 3 π)$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 π$ heraus.

$x = \frac{2}{3} (3 (- π))$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{3} (3 (- π))$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (- π)$

Schritt 1.2.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = - 2 π$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Tangensfunktion $\frac{3 x}{4} + π$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} + π = \frac{π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} - π$

Schritt 1.4.1.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x}{4} = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{π - 2 π}{2}$

Schritt 1.4.1.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $π$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{- π}{2}$

Schritt 1.4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

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Schritt 1.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.4.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.4.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.4.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{4}{3} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 1.4.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3} (- π)$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $π$ .

$x = - \frac{2 π}{3}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} + π)}{3} - 2$ tritt auf bei $(- 2 π, - \frac{2 π}{3})$ , wobei $- 2 π$ und $- \frac{2 π}{3}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- 2 π, - \frac{2 π}{3})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 1.6.1

$\frac{3}{4}$ ist ungefähr $0.75$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{3}{4}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{4}{3}$

Schritt 1.6.3

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3}$

Schritt 1.6.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} + π)}{3} - 2$ treten auf bei $- 2 π$ , $- \frac{2 π}{3}$ und aller $x = - 2 π + \frac{4 π n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = - 2 π + \frac{4 π n}{3}$

Schritt 1.8

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - 2 π + \frac{4 π n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - 2 π + \frac{4 π n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \tan (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = \frac{2}{3}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = - π$

$d = - 2$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $t a n$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $\frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} + π)}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{3}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{3}{4} |}$

Schritt 4.1.3

$\frac{3}{4}$ ist ungefähr $0.75$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{3}{4}}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{4}{3}$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3}$

Schritt 4.1.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $- 2$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{3}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{3}{4} |}$

Schritt 4.2.3

$\frac{3}{4}$ ist ungefähr $0.75$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{3}{4}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3}$

Schritt 4.2.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- π}{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- π \frac{4}{3}$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

Phasenverschiebung: $- \frac{4 π}{3}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{4 π}{3}$

Phasenverschiebung: $- \frac{4 π}{3}$ ( $\frac{4 π}{3}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $- 2$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = - 2 π + \frac{4 π n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{4 π}{3}$

Phasenverschiebung: $- \frac{4 π}{3}$ ( $\frac{4 π}{3}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $- 2$

Schritt 8