Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{- 2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $- \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ nicht definiert ist.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} - \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 2}$ als ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 2}$

Schritt 3.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 3.1.3.4

Dividiere $2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} - (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.1.4

Bringe ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.4

Schreibe ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x^{2} + 2}$ um.

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 3.5

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 3.6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 3.6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 3.6.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 3.6.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 3.6.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 3.6.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 3.6.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 3.7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Schritt 3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Schritt 3.8.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 3.8.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- 2 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cdot 1$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 4

Berechne $lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 2}$ als ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 2}$

Schritt 4.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 4.1.3.4

Dividiere $2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} - (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.4

Bringe ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.4

Schreibe ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x^{2} + 2}$ um.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 4.5

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = - \sqrt{x^{2}}$ ist.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$- 2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6.5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6.6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6.8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Schritt 4.6.9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Schritt 4.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.8.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- 2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Schritt 4.8.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}})$

Schritt 4.8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}})$

Schritt 4.8.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

Schritt 4.8.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{1})$

Schritt 4.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 (- \frac{1}{1})$

Schritt 4.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 4.8.4

Multipliziere $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 4.8.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Schritt 4.8.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2$

Schritt 5

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = - 2, 2$

Schritt 6

Wende die Polynomdivision an, um die schiefen Asymptoten zu ermitteln. Weil dieser Ausdruck eine Wurzel enthält, kann Polynomdivision nicht durchgeführt werden.

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = - 2, 2$

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 8