Trigonometrie Beispiele

$f (x) = | 2 \cos (\frac{π x}{2}) |$

Schritt 1

Bestimme den Scheitelpunkt des Absolutwerts. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt für $y = 2 | \cos (\frac{π x}{2}) |$ gleich $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze das Innere des Absolutwertes $\cos (\frac{π x}{2})$ gleich $0$ , um die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen. In diesem Fall: $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ , um die $x$ -Koordinate der Absolutwert-Spitze zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{π x}{2} = \arccos (0)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$π x = π$

Schritt 1.2.4

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 1.2.4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

Schritt 1.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.6.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{π} (2 π \cdot 2 - π)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{1}{π} (4 π - π)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.6

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{1}{π} (3 π)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.2.1.7.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Schritt 1.2.6.2.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{π x}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Schritt 1.2.7.3

$\frac{π}{2}$ ist ungefähr $1.57079632$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.2.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{π}$

Schritt 1.2.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 1.2.7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 1.2.7.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2$

Schritt 1.2.7.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 1.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{π x}{2})$ ist $4$ , d. h., Werte werden sich alle $4$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1 + 4 n, 3 + 4 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 1 + 2 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1 + 2 n$ .

$y = 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

Schritt 1.4

Die Absolutwert-Spitze ist $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 + 2 n & 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Schritt 4