Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - | \ln (x - 3) |$

Schritt 1

Bestimme den Scheitelpunkt des Absolutwerts. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt für $y = - | \ln (x - 3) |$ gleich $(4, 0)$ .

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Schritt 1.1

Setze das Innere des Absolutwertes $\ln (x - 3)$ gleich $0$ , um die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen. In diesem Fall: $\ln (x - 3) = 0$ .

$\ln (x - 3) = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung $\ln (x - 3) = 0$ , um die $x$ -Koordinate der Absolutwert-Spitze zu ermitteln.

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Schritt 1.2.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x - 3)} = e^{0}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\ln (x - 3) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x - 3$

Schritt 1.2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x - 3 = e^{0}$ um.

$x - 3 = e^{0}$

Schritt 1.2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x - 3 = 1$

Schritt 1.2.3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 + 3$

Schritt 1.2.3.3.2

Addiere $1$ und $3$ .

$x = 4$

Schritt 1.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$y = - | \ln ((4) - 3) |$

Schritt 1.4

Vereinfache $- | \ln ((4) - 3) |$ .

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Schritt 1.4.1

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$y = - | \ln (1) |$

Schritt 1.4.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$y = - | 0 |$

Schritt 1.4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$y = - 0$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.5

Die Absolutwert-Spitze ist $(4, 0)$ .

$(4, 0)$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = - | \ln (x - 3) |$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Betragsfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 2.1

Setze das Argument in $\ln (x - 3)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x - 3 > 0$

Schritt 2.2

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x > 3$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 3}$

Intervallschreibweise:

$(3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 3}$

Schritt 3

Für jeden $x$ Wert, es gibt einen $y$ Wert. Wählen Sie einige aus $x$ Werte aus der Domäne. Es wäre sinnvoller, die Werte so zu wählen, dass sie in der Nähe des $x$ Wert des Absolutwert-Scheitelpunkts.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $5$ in $f (x) = - | \ln (x - 3) |$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5, - \ln (2))$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - | \ln ((5) - 3) |$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f (5) = - | \ln (2) |$

Schritt 3.1.2.2

$\ln (2)$ ist ungefähr $0.69314718$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$f (5) = - \ln (2)$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \ln (2)$ .

$y = - \ln (2)$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $6$ in $f (x) = - | \ln (x - 3) |$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(6, - \ln (3))$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = - | \ln ((6) - 3) |$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$f (6) = - | \ln (3) |$

Schritt 3.2.2.2

$\ln (3)$ ist ungefähr $1.09861228$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$f (6) = - \ln (3)$

Schritt 3.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \ln (3)$ .

$y = - \ln (3)$

Schritt 3.3

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(4, 0), (5, - 0.69), (6, - 1.1)$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 5 & - 0.69 \\ 6 & - 1.1 \end{array}$

Schritt 4