Trigonometrie Beispiele

$f (x) < (3 x^{2} - 24 x) - 3$

Schritt 1

Subtrahiere $f (x)$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$0 < 3 x^{2} - 24 x - 3 - f (x)$

Schritt 2

Ermittle Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse für die Grenzlinie.

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Schritt 2.1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 2.1.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.1.2

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$3 x^{2} - 24 x - 3 - f (x) > 0$

Schritt 2.1.3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x^{2} - 24 x - 3 - f (x) = 0$

Schritt 2.1.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.1.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 24$ und $c = - 3 - f (x)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 3 - f (x)))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 3 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 3 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot - 3 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 3$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 36 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 36 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.1.6

Addiere $576$ und $36$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{612 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{612 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.1.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.7.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 3 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 3 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot - 3 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 3$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 36 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 36 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.1.6

Addiere $576$ und $36$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{612 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{612 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{24 + \sqrt{612 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.1.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.8.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot (- 3 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot (- 3 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot - 3 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 3$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 36 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 36 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.1.6

Addiere $576$ und $36$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{612 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{612 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{24 - \sqrt{612 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{24 + \sqrt{612 + 12 f (x)}}{6}, \frac{24 - \sqrt{612 + 12 f (x)}}{6}$

Schritt 2.1.10

Ordne das Polynom so, dass es der $y = m x + b$ -Form für Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht.

$3 x^{2} - 24 x = f (x) + 3$

Schritt 2.2

Die Gleichung ist nicht linear, und folglich existiert keine konstante Steigung.

Nicht linear

Schritt 3

Zeichne eine gestrichelte Linie und schraffiere dann die Fläche unterhalb der Grenzlinie, da $y$ kleiner als $3 x^{2} - 24 x - 3 - f (x)$ ist.

$0 < 3 x^{2} - 24 x - 3 - f (x)$

Schritt 4