Trigonometrie Beispiele

$\cos (\arctan (x))$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ nicht definiert ist.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}$

Schritt 3.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 3.1.3.4

Dividiere ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3.1.4

Bringe ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ $0$ .

$0$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 5

Wende die Polynomdivision an, um die schiefen Asymptoten zu ermitteln. Weil dieser Ausdruck eine Wurzel enthält, kann Polynomdivision nicht durchgeführt werden.

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 7